失業保険に付いてですが、今年の１月1日付で病気療養の為、退職致しました。住所地は西東京市ですが、現在大阪府で療養中です。失業保険の申請及び手続きを、どのようにすれば良いか教えて頂けませんでしょうか？

最寄りのハローワークに行って、受給期間を延長してください。
貴方が仕事ができる（病気が治ったら）給付が始まります。
もちろんですが、受給資格があった場合です。
失業給付金は、対し十してから1年しか受給できないので、はやくハローワークに行って、受給期間を延長してください。

都内で働いています。
会社都合で仕事を失いますので失業保険がすぐでるのですが、
仕事をやめた後は地方にある実家に半年ほど戻る予定です。
そこで、質問したいのですが、
失業保険をもらう手続きは、働いてい
た東京でないとできませんか？
他県にいたら、失業保険はもらえませんか？
教えてください。。

基本的には住民票のある住所を管轄する、ハローワークで、失業日当の申請を行います。

東京から住民票を移せば、実家の管轄のハローワークです。
余談ですが・・住民票は絶対ではありません。

住民票と居住が違う場合でも、そこに住んでいる証明、例えば、大家さんに証明書を書いて貰う、または、同居の方から証明書を書いて貰う等でも、ハローワークは受け付けてくれます。

失業保険に関して
東京でリストラです。

社宅をでて地元にもどります。

手続きは福岡で可能ですか？

失業給付金を受給するには「離職票」や「雇用保険被保険者証」が必要です。
必ず“地元”の居住地へ送付していただいてください。
居住地を管轄するハローワークで手続をしてください。

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